VERHULST vs. MALTHUS
David Wells:
Geometrinin Gizli Dünyası, s: 325.
“Verhulst Denklemi:
Verhulst, nüfus çalışmalarında bir öncüdür. 1838’de şu yasayı yayınladı:
Malthus’un karamsar tahminlerinin tersine, nüfus hiç durmadan artamaz, çünkü
nüfusun artışını engelleyn etkenler, nüfusun kendisinden daha hızlı artar.
Verhulst denklemi
şöyledir: x(n) + 1 = r.x(n). (1-x(n)). Bu denklemin değeri ‘r’ ye bağlıdır. ‘r
< 2’ ise, sistem hızla kararlı bir durum alır (yani ne büyür, ne küçülür).
‘2 < r < 2,5’ ise, nüfus iki değer arasında gidip gelir, buna ‘çözümün
çatallanması’ denir.
‘r’, 2,5’un biraz
üstüne çıkarsa, çözüm yine çatallanır, sonra yine çatallanır, böylece 8 değer,
sonra 16 değer arasında gidip gelir. Bu çatallanmalar, giderek birbirine
yaklaşır, sonunda ‘r’ yaklaşık 2,57 olunca çatallanma sayısı sonsuza erişir ve
çözüm kaotik bir durum alır.
Kaos oluşunca,
noktalar ritm veya neden olmadan yüzeysel olarak sıçramaya başlar. Ya hiçbir
periyod yoktur, ya da çok yüksek periyotlar vardır. Ne var ki bu kaotik
davranış, belli bir yapıya sahiptir. Bölgenin içinde dikey bantlar vardır, daha
önceki dış sınırlar onları çaprazlar. ‘r = 2,837’ olunca, Verhulst biçimi daha
küçük olarak yeniden belirir.
Sonlu bir aralıkta
sonsuz çatallanmalar görülebilmesi için, birbirini izleyen çatallanmalar
arasındaki uzaklıklar büyük bir hızla küçülmelidir. Böyle de olur. Bu
uzaklıklar arasındaki oran, bulanın adına atfen, ‘Feigenbaum sayısı’ denen bir
limite gider. Bu sayı, yaklaşık ‘4,6692016609’dur.”
Malthus, eserini
1790’da yayınladı. Sömürüyü rasyonalize etmek için (kendisi bu eser için bir
krallıktan ödül aldı), nüfusun kaynaklardan daha hızlı artacağını öne sürdü ama
hiçbir dayanak göstermedi. İronik olarak Marx, devrimi rasyonalize etmek için
Malthus’u kaynak gösterdi ama Verhulst’un adını anmadı.
(Marx’ı bilimsel
sayma gafleti gösterenler için ek: Marx; yaşadığı dönemde bilinen, sanal
sayıları da, Euclid dışı geometrileri de, Aristo dışı mantıkları da, Newton
dışı fizikleri de anmadı. Bilimi Engels’e bıraktı. Le Febvre’in saptamasıyla,
Engels’in ‘wissenschaft’ı zaten o zamanki Almanca’da şimdiki ‘bilim’ anlamına
gelmiyordu.)
Bugün bilim,
Verhulst’u doğruluyor: İnsan türü, bir milyon yılda yalnızca 3 kez nüfus
patlaması yaşadı: Afrika savanlarından dünyaya yayıldığı dönemde, 11.000 yıl
önceki Neolitik Devrim döneminde ve 1750’de başlayıp 2125 civarında limite
varacak olan 1. Sanayileşme döneminde. Sonuncusu ilginç: Evrimde ve tarihte ilk
kez insan türü, gönüllü olarak nüfus artışını durdurdu.
(16 Mart 2002)
KAKEYA KÜMELERİ YA DA PERRON AĞAÇLARI
Ne tuhaf adlar.
Değil mi?
Bu tanımlar,
Kakeya tarafından 1917’de sorulan bir sorunun yanıtlarının seyridir. Bir doğru
parçasının tam bir dönme yapması için gerekli minimum alan nedir? Kakeya’nın
yanıtı içbükeydi: Bir eşkenar üçgen. Oysa, Perron, bunun bir eşkenar üçgenin
tabanını sürekli olarak ikiye bölmekle elde edilen girintili çıkıntılı bir alan
olduğunu gösterdi. Bu dışbükeydi.
Euclid
Geometrisi, telifçisinin de belirtiği üzere Aristo Mantığı’ndan türetmedir. Bu
kez biz tersini deneyelim: Geometrik bir modelden mantıksal bir model
çıkarsayalalım. Bir önermenin karşıtını çıkarsamak ya da onu kendi içinde
döndürmek için, dilsel / mantıksal olarak ne kadar kaplamsal / kapsamsal alan
gerekir? Yanıt: Sıfır. Döndürülme kapsamı sıfır ama kaplamı sonsuz bir
ikilemsel durum.
Bunun
kültürolojik anlamı nedir? Kültürel evrim dinamik olduğu için, herhangi bir
yerzaman ansamında çözümlere yetecek anlamküre dilssel hacim içinde (diyelim
eldeki sözcüklerle ki sık sık gerçekleşen bir durumdur) tanımlanamayabilir ama
yine de var olabilir. O nedenle çözüm olmadık alanlarda kaotik yörüngeler
çizebilir, hatta denklemlerin reel çözümleri olmayabilir. Sanal köklerin
tarihteki ve kültürdeki izdüşümü henüz tanımlanmadı.
Ek:
Helis
geometrisinde dönen ve 4 adımda karşıtına varan bir önermeler dizisi örneği:
“Düşünüyorum,
öyleyse varım.
Varım, öyleyse
yaşıyorum.
Yaşıyorum,
öyleyse öleceğim.
Öleceğim, öylese
yokum.
:
Varım, öyleyse
yokum.”
(İlk tümce,
‘Varım, öyleyse düşünüyorum’ da olabilirdi.)
(11 Kasım 2001)
ORMAN YANGINININ KAOTİĞİ
Neden-sonuç
ilintileri her zaman doğrusal olarak işlemez. Kimi ‘non-linear’ durumlar da
oluşur.
Bir duruma,
‘kelebek etkisi’, ‘çığ etkisi’ ya da ‘domino etkisi’ denir. Epsilon nicelikli bir
neden, limit sonsuz nicelikli bir sonuç yaratabilir. Devrimlerin
gerçekleştikleri anlar, böylesi durumlar içerir. Bir grev, bir sivilin
vurulması, ekmek karaborsasının oluşması kitleyi ateşler ve isyan bir daha
durulmaz. Eskiler gider, yeniler gelir. (Bu, her devrimin ilk kezinde başarılı
olacağı anlamına gelmez. Bakınız: Rusya 1905 Devrimi.)
Bazı kimyasal
reaksiyonlar osilatiftir, yani ‘a+b’ maddeleri ‘c+d’ maddelerine tepkir, aradan
bir süre geçince baştaki malzemelere geri dönülür, bu çözeltinin renginin iki
renk arasında gidip gelmesinden anlaşılır.
Orman yangınlarının
neden-sonuç ilintileri kaotiktir, yani ilintiler kimi belirsizdir, daha çok
belli durumlar arasında rasgele salınır, o nedenle orman yangınlarının
kendiliğinden sönüp sönmeyeceği baştan kestirilemez. Orman yangınını
söndürmenin bir yolu, doğru hesaplanmış genişlikteki (eni alevlerin
geçemeyeceği büyüklükte) bir şeritteki ağaçları kendi elinizle yok edersiniz.
Yangın oraya gelince biter. (Burada, feda edilecek alanın büyüklüğüne karar vermek,
belirsizlik oranı % 100’e kayabilen bir durumdur. O nedenle işin içine şans
faktörü de karışır.)
Orman yangınlarının
parametreleri, rüzgarın hızı, yanan ağaçların yanma nitelikleri (ıslaklığı,
büyüklüğü, ağacın yanabilirlik tipi, vb) olabilir. Örnekse, rüzgar ormanı sınır
olan ırmağa doğru esiyorsa yangın orada biter. Rüzgar, bir yavaşlayıp bir
hızlanıyorsa, körük etkisi yapar. Yukarıdan aşağı eserse çok duman olur ve
yangını oksijensizlikten boğar.
Bazı ağaçlar zor,
bazıları kolay yanar. En kolay yanan ağaçlardan biri de çamdır. Güney
kıyılarımızdaki ormanların çıra niyetine yanıvermesi bu nedenledir. Karma
ağaçlı orman yapmayı 75 yıldır kimse akıl edemiyor.
Orman yangını asla
belirli (ya da birinci dereceden) bir geometrik biçim izleyerek yayılmaz. Durur
durur, yeniden başlar. Günlerce için için yanar. O nedenle, orman yangınlarının
neden-sonuç ilintileri kaotiktir. (Daha az
kestirim çabası, daha çok kestirim verebilir.)
‘Orman yangını’
yerine, ‘salgın hastalık’, ‘ekonomik kriz’ ya da ‘savaş’ da diyebilirsiniz.
Tarihin kritik anlarında tutum-davranış ikilemlerinin çokluğu bu nedenledir.
(26 Ağustos 2001)
SAVAŞIN KATASTROF KURAMI
Katastrof Kuramı,
1975’te Rene Thom tarafından icat edildi. Çok hızlı ve ikilemsel ardışıklıklar
taşıyabilen dönüşümlerin matematiksel modellenmesi için tasarlandı.
Thom, yedi ana
durum saptadı. İleriki yıllarda bunlardan başkalarının da olabileceği
gösterildi. Ben de, sıfırıncı dereceden, yani görüngüsüz bir durum tanımladım
(psişik durumlardan katatoni veya otizm gibi).
7 ana durum şunlar
(‘x’ ve ‘y’ lerden sonraki sayılar ‘üs’ demek, aralardaki noktalar ‘çarpı’
demek):
1. (1/3 x 3 – a . x
)
2. (1/4 x 4 – a . x
– ½ b . x 2)
3. (1/5 x 5 – a . x
– ½ b . x 2 – 1/3 c . x 3)
4. (1/6 x 6 – a . x
– ½ b . x 2 – 1/3 c . x 3 – ¼ d . x 4)
5. (x 3 + y 3 + a .
x + b . y + c . x 2 + c . y 2)
6. (x 3 – x . y 2 + a . x + b . y + c . x 2
+ c . y 2)
7. (x 2 . y + y 4 +
a . x + b . y + c . x 2 + d . y 2)
Adları sırasıyla,
kıvrım, sivri uç, kırlangıç kuyruğu, kelebek, hiperbolik, eliptik, parabolik
olarak konmuş. Daha çok izledikleri rotaların gösterdiği biçimlerin
anımsattıkları nedeniyle böyle yapılmış.
Katastrof
Kuramı’nın en kolay görüngüleştirilebilen ve görselleştirilebilen türü
‘kıvrım’dır.
Kıvrımda savaşı
modellersek, ‘maliyet’ ve ‘tehdit’ ikileminde bir hızlanan bir yavaşlayan, bir
saldırılan bir geri çekilinen bir savaş durumu elde ederiz.
Kelebekte savaşı
modellersek, ortada ulaşılamayan bir olgular boş kümesi kalır. Eğer ateşkes
ve/ya barış kümesi orada kalırsa, Yüzyıl Savaşları gibi, asla bir çözüme
ulaşılamayan bir savaş görüngüsü dizisi elde ederiz.
Bu biçimde, hem
doğrusal, hem de döngüsel neden-sonuç ilintileri vardır. Eğer döngüler,
kısırdöngüleşirse, ‘Yüzyıl Savaşları’ türü fenomenler oluşabilir.
Savaşı yalnızca, üç
beş parametreyle tanımlamak mümkün değil. Bir tür indirgeme mantığı deneniyor.
Gerçek durumlarda, her biri diğeri denli etkin, yüze varan parametre
tanımlanabiliyor.
(26 Ağustos + 14 Eylül 2001)
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder